Beispiel 2
Betrachte das folgende Beispiel aus der Lehrveranstaltung.
Wir haben die quadratische Zielfunktion \(f(x_1,x_2) = 10-(10-x_1)^2-2(10-x_2)^2\) und folgende Optimierungsaufgabe
\(\begin{array}{ll}&f(x_1,x_2)\to_{x_1,x_2} \max,\\ \mbox{unter der Nebenbedingung:}&g(x_1,x_2)=27-2x_1-x_2=0. \end{array}\)
- Die Lagrange-Funktion des Optimierungsproblems ist dann
\(\begin{array}{rcl} L(\lambda,x_1,x_2)&=&f(x_1,x_2)+\lambda g(x_1,x_2)\\ &=& 10-(10-x_1)^2-2(10-x_2)^2 + \lambda (27-2x_1-x_2) \end{array}\)
Diese Lagrange-Funktion ist nun eine Funktion in drei Variablen und kann daher nicht mehr vollständig gezeichnet werden (würde eine 4-dimensionale Darstellung erfordern). Daher können nur 3-dimensionale Schnitte gezeichnet werden. Die interaktive Graphik zeigt \(L(\lambda={\mathrm{const}},x_1,x_2)\), d.h., je nach gewähltem \(\lambda\) wird die Zielfunktion entlang der Nebenbedingung gekippt.
- In Blau sehen wir die Werte der Lagrangefunktion entlang jener Kombinationen von \(x_1, x_2\), welche die Nebenbedingung erfüllen. Diese Linie ist invariant bezüglich der Wahl des Lagrange-Multiplikators (siehe die Konstruktion der Lagrange-Funktion).
- Die Lage der Maxima für jeweils gegebenes \(\lambda\) ist in Grün eingetragen. Wieder sehen wir deutlich, dass das Optimum des beschränkten Problems genau im Sattelpunkt der Lagrange-Funktion liegt.
- Wie in Beispiel 1 ist deutlich zu sehen, dass für geeignetes \(\lambda\) die Zielfunktion genau so weit gekippt wird, dass das unbeschränkte Maximum von \(L(\lambda={\mathrm{const}},x_1,x_2)\) genau auf der Nebenbedingung liegt.
-
Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung (Bedingungen
erster Ordnung für einen Sattelpunkt von \(L\)) sind dann
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda}}(\lambda,x_1,x_2)&=&0,\\[0.4em] \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x_1}}(\lambda,x_1,x_2)&=&0,\\[0.4em] \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x_2}}(\lambda,x_1,x_2)&=&0. \end{array}\)
Das ergibt folgendes Gleichungssystem
\(\begin{array}{rcccl} \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial \lambda}}(\lambda,x_1,x_2)&=&27-2x_1-x_2&=&0,\\[0.4em] \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x_1}}(\lambda,x_1,x_2)&=&2(10-x_1)-2\lambda&=&0,\\[0.4em] \displaystyle{\frac{\partial L}{\partial x_2}}(\lambda,x_1,x_2)&=&4(10-x_2)-\lambda&=&0. \end{array}\)
Mit der Lösung
\(\lambda^*=\displaystyle{\frac{4}{3}}\), \(x_1^*=\displaystyle{\frac{26}{3}}\), \(x_2^*=\displaystyle{\frac{29}{3}}\),
Und dem maximalen Funktionswert
\(f(x_1^*,x_2^*)=L(\lambda^*,x_1^*,x_2^*) = 8\).
- Wählt man in der interaktiven Graphik den optimalen Wert des Lagrange-Multiplikators \(\lambda^*=\displaystyle{\frac{4}{3}}=1.3333\), so führt die unbeschränkte Maximierung von \(L(\lambda=4/3,x_1,x_2)\) bezüglich \(x_1\) und \(x_2\) zur errechneten Lösung.