Beispiele zu Kapitel 10, 11 und 12

Datenfiles und R-Code zu Beispielen aus der LVA finden Sie auch auf der TUWEL-Seite zur Lehrveranstaltung.

Total Return

Beispiel: Coterra Energy

Coterra Energy ist ein Unternehmen im S&P500 aus den Sektoren "Oil, Gas and Coal". Über das Jahr 2023 sind folgende Eckdaten zum Aktienkurs und zu Dividendenzahlungen gegeben:

Datum	Preis	Dividende
31.12.22	24.57
15.03.23	22.78	0.57
25.05.23	24.83	0.20
16.08.23	27.56	0.20
15.11.23	27.15	0.20
31.12.23	25.52

Wie hoch ist der Total Return von Coterra Energy im Jahr 2023?
Wie hoch ist der Preis-Return von Coterra Energy im Jahr 2023?
Wie hoch ist die Dividendenrendite von Coterra Energy im Jahr 2023 (unter der Annahme von sofortiger Reinvestition unterjähriger Dividenden)?

Im ersten Schritt berechnet man die Total Returns über die einzelnen Teilperioden. Dabei ist als Ertrag nicht nur die Preisenderung, sondern auch eine eventuelle Dividendenzahlung zu berücksichtigen

$R_{t+1} = \frac{P_{t+1}+D_{t+1}-P_t}{P_t}$

Datum	Preis	Dividende	Total Return über Teilperiode
31.12.22	24.57
15.03.23	22.78	0.57	-0.0497
25.05.23	24.83	0.20	0.0988
16.08.23	27.56	0.20	0.1180
15.11.23	27.15	0.20	-0.0076
31.12.23	25.52		-0.0600

Der Total Return über das Jahr 2023 von Coterra Energy errechnet sich durch die Zusammensetzung der Total Returns über die Teilperioden
$\begin{eqnarray*} R_\text{2023} &=& (R_\text{[2022-12-31,2023-03-15]} +1)(R_\text{[2023-03-15,2023-05-25]} +1) (R_\text{[2023-05-25,2023-08-16]} +1)(R_\text{[2023-08-16,2023-11-15]} +1) (R_\text{[2023-11-15,2023-12-31]} +1)-1\\ &=& 0.0890. \end{eqnarray*}$
Der Total Return von Coterra Energy im Jahr 2023 ist $8.9\%$.

$\begin{eqnarray*} R_{P,\text{2023}} &=& \frac{P_\text{2023-12-31}}{P_\text{2022-12-31}}-1\\[0.5em] &=&0.0387. \end{eqnarray*}$

Der Total Return ist die Summe aus Preisrendite und Dividendenrendite, daher ist die Dividendenrendite von Coterra Energy im Jahr 2023
$R_{D,\text{2023}} = 0.0890 - 0.0387 = 0.0503.$
Die Dividendenrendite im Jahr 2023 beträgt $5.0\%$. Damit ist Coterra Energy aktuell unter den Unternehmen mit der höchsten Dividendenrendite im S&P 500 Index.

Portfolio-Return

Beispiel: Airbnb und AT&T

Airbnb und AT&T sind zwei Unternehmen im S&P500 aus den Sektoren "Travel and Leisure" bzw. "Telecommunications Service Providers". Der Aktienkurs von Airbnb ist aktuell (Nov. 2024) $135, der Kurs von AT&T liegt bei $22.
Betrachten Sie ein Portfolio aus 200 Aktien Airbnb und aus 500 Aktien AT&T.

Angenommen, im Laufe des kommenden Jahres ist der Total Return von Airbnb -20%, der Return von AT&T +20%. Wie hoch ist der Return des Portfolios?
Wie hoch ist der Portfoliowert zu Beginn bzw. am Ende des Jahres. Wie hoch ist der Portfolioertrag in $?

Der Marktwert der Portfolio-Komponenten beträgt
- Airbnb: 200 Stück mal $135 = $27000.
- AT&T: 500 Stück mal $22 = $11000.
Der Gesamtwert des Portfolios is $38000, die Portfoliogewichte sind
- $w_\text{Airbnb} = \frac{27000}{38000} = 0.7105$,
- $w_\text{AT&T} = \frac{11000}{38000} = 0.2895$.
Die Returns der beiden Aktien sind
- $R_\text{Airbnb} = -0.2$,
- $R_\text{AT&T} = +0.2$.
Der Portfolio-Return ist daher
$R_p = w_\text{Airbnb} R_\text{Airbnb} + w_\text{AT&T} R_\text{AT&T} = -0.0842 = -8.42\%$

Portfolio aus Aktie und risikoloser Veranlagung

Beispiel: AT&T und risikolose Veranlagung

AT&T ist ein Unternehmen im S&P500 aus dem Sektor "Telecommunications Service Providers". Die Aktie hat eine jährliche Return-Volatilität von $\sigma$ = 22.3% und einen erwarteten Excess-Return von $\mu^e$ = 3.2% p.a.
Neben der AT&T Aktie steht eine risikolose Veranlagung mit einem Return von 5.3% p.a. zur Investition zr Verfügung.

Welche Returnerwartung und Volatilität hat ein Portfolio aus 60% AT&T und 40% risikoloser Veranlagung?
Wie muss man ein Portfolio aus risikoloser Veranlagung und AT&T bilden, wenn man damit eine Ziel-Volatilität von 10% p.a. implementieren will? Was ist die Returnerwartung dieses Portfolios?

Die Return-Varianz eines Portfolios aus zwei Wertpapieren errechnet sich als
$\sigma^2_p = w_\text{AT&T}^2 \sigma^2_\text{AT&T} + 2 w_\text{AT&T}w_{R_f}\sigma_\text{AT&T}\sigma_{R_f}\rho_{\text{AT&T},R_f} + w_{R_f}^2 \sigma_{R_f}^2 $
Da die Volatilität der risikolosen Veranlagung $\sigma_{R_f}$ gleich 0 ist, vereinfacht sich die Berechnung der Portfoliovarianv zu
$\sigma^2_p = w_\text{AT&T}^2 \sigma^2_\text{AT&T} $,
bzw. gilt für die Portfolio-Volatilität
$\sigma_p = w_\text{AT&T} \sigma_\text{AT&T} $.
Damit ergibt sich für ein Portfolio mit den oben genannten Gewichten eine Volatilität von
$\sigma_p = 0.6 \sigma_\text{AT&T} = 0.1338 = 13.38\%$.
Die Returnerwartung des Portfolios errechnet sich zu
$\mu_p = w_\text{AT&T} \mu_\text{AT&T} + w_{R_f} R_f = R_f + w_\text{AT&T}\underbrace{(\mu_\text{AT&T}-R_f)}_{\mu^e_\text{AT&T}} = 0.053 + 0.6\,\times\, 0.032 = 0.0722 = 7.22\% $.
Soll eine Ziel-Volatilität von 10% erreicht werden, dann gilt
$ w_\text{AT&T} = \frac{10\%}{\sigma_\text{AT&T}} = 0.4484 = 44.84\% $.
Somit werden $ w_{R_f} = 55.16\% $ in die risikolose Veranlagung investiert.
Die Returnerwartung dieses Portfolios ist
$ \mu_p = R_f + w_\text{AT&T}(\mu_\text{AT&T}-R_f) = 0.0673 = 6.73\% $.

Berechnung von Beta als Regressionskoeffizient

Beispiel: Beta von Delta Air

Fluglinien sind Unternehmen mit hohem systematischem Risiko. Delta Air ist eine Fluglinie, deren Aktien im S&P 500 gelistet sind.
Das "Markt-Exposure" der Returns der Delta Air Aktien schätzen wir mit Hilfe der univariaten Regression (mit Konstante)

$(R_{\text{Delta},t} - R_{f,t}) = \alpha + \beta (R_{m,t}-R_{f,t}) + \varepsilon_t $

mit

$\begin{eqnarray*} R_{\text{Delta},t} &\dots&\text{ Returns von Delta}\\ R_{m,t} &\dots&\text{ Markt-Returns}\\ R_{f,t} &\dots&\text{ Returns der risikolosen Veranlagung}\\ \end{eqnarray*}$

Wie implementiert man diese Regression in R?
Wie ist das Ergebnis zu interpretieren?

Wir verwenden wöchentliche Daten über vier Jahre von 2019-12-31 bis 2023-12-31. Dazu bitte das File "RegressionDeltaAir_Market.RData" von der TUWEL-Seite laden und mit
load("RegressionDeltaAir_Market.RData")
die Daten einlesen. Variablen R_Delta, R_Market, R_f enthalten nun Vektoren mit den wöchentlichen Returns von Delta Air, des Markets und der risikolosen Veranlagung.
Wir errechnen die Überschussrenditen (Excess-Returns) aus und schätzen das lineare Regressionsmodell
library(lpSolve) Ra_Delta <- R_Delta - R_f Ra_Market <- R_Market - R_f model <- lm(Ra_Delta ~ Ra_Market)
Die Zusammenfassung des Ergebnisses erhält man folgendermaßen
summary(model)
Output:
Call: lm(formula = Ra_Delta ~ Ra_Market) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.199605 -0.032480 -0.003759 0.031838 0.268427 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.002988 0.004005 -0.746 0.457 Ra_Market 1.806075 0.134084 13.470 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.05773 on 207 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.4671, Adjusted R-squared: 0.4645 F-statistic: 181.4 on 1 and 207 DF, p-value: < 2.2e-16
Die Regressionskoeffizienten sind im Block "Coefficients" aufgelistet.
"(Intercept)" bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse, bezieht sich also auf den Wert von $\alpha$.
- $\alpha$ hat einen geschätzten Wert von -0.002988, diese Schätzung hat einen Standardfehler von 0.004005. Weil der 0-Hypothesen-Wert bei linearen Regressionen standardmäßig $\alpha = 0.0$ lautet, ergibt das einen t-Wert von -0.746. Der p-Wert ist 0.457 und daher nicht signifikant (keine Sterne am Ende der Zeile)
"Ra_Market" bezeichnet den Koeffizienten des Access-Returns, das gesuchte $\beta$.
- $\beta$ hat einen geschätzten Wert von 1.806075, diese Schätzung hat einen Standardfehler von 0.134084 und daher einen t-Wert von 13.470. Bei einem p-Wert <2e-16 ist der Schätzwert hoch signifikant von 0 verschieden. (*** am Ende der Zeile)

Optimal diversifizierte Portfolios

"Der Beste" Puplikumsfonds

"Der Beste" (Achtung: Frei erfundenes Produkt) ist ein Publikumsfonds, der behauptet, in ein effizientes Portfolio zu investieren und so die höchstmögliche Sharpe-Ratio zu erzielen. Laut Marketingabteilung von "Der Beste" ist die Ertragserwartung des Portfolios 19.2% p.a. bei einer Return-Volatilität von 24% p.a. Eine risikolose Veranlagung bietet eine Verzinsung von 6%. Sie sind nicht sicher, ob Sie den Behauptungen des Marketings von "Der Beste" Glauben schenken sollen.

Was ist die Sharpe Ratio von "Der Beste"?
Nach einiger Recherche stellen Sie fest, dass das effiziente Marktportfolio eine Ertragserwartung von 14.8% p.a. und eine Return-Volatilität von 16% p.a. hat. Sind die Angaben von "Der Beste" nun korrekt oder nicht?
Wie hoch ist die Volatilität des nicht diversifizierbaren Risikos von "Der Beste"?
Welche Portfoliostrategie hat "Der Beste" ganz offensichtlich implementiert?
Gibt es eine Gruppe von InvestorInnen, für die "Der Beste" ein gutes Produkt ist?

Lösung folgt. Fragen bitte in der LVA stellen.

Volatilität, Beta und systematisches Risiko

Beispiel: McDonalds und Kraft Heinz

McDonalds und Kraft Heinz sind Unternehmen, deren Aktien im S&P500 gelistet sind, aus dem Sektor "Travel and Leisure" bzw. "Food Producers". Die annualisierte Volatilität der Returns der Aktien im Zeitraum vom 31.12.2019 bis zum 31.12.2023 ist

$\sigma_\text{MD}= 0.224,\quad \sigma_\text{KH}=0.248,$

die annualisierte Volatilität des Marktreturns ist

$\sigma_m= 0.215$

Berechnet man das $\beta$ dieser Firmen aus wöchentlichen Returns über den genannten Zeitraum, so erhält man

$\beta_\text{McD} = 0.791,\quad \beta_\text{KH} = 0.526.$

Wie hoch ist die systematische Volatilität der Aktienreturns?
Welches Unternehmen hat Eigenkapital mit dem höheren Gesamtrisiko?
Wie hoch ist die idiosynkratische Volatilität des Eigenkapitals?

Die Varianz der Returns lässt sich zerlegen in systematische Varianz und idiosynkratische Varianz. Diese beiden Risikobausteine sind orthogonal, daher gilt "Pythagoras"
$\begin{eqnarray*} \sigma^2 &=& \sigma_\text{sys}^2 + \sigma_\text{idio}^2\\ &=&\beta^2 \sigma_m^2 + \sigma_\text{idio}^2. \end{eqnarray*}$
Die systematische Return-Volatilität der beiden Firmen ist daher
$\begin{eqnarray*} \sigma_\text{sys,McD}&=&\beta_\text{McD} * \sigma_m = 0.791 \times 0.215 = 0.170,\\ \sigma_\text{sys,KH}&=&\beta_\text{KH} * \sigma_m = 0.526 \times 0.215 = 0.113. \end{eqnarray*}$
Die idiosynkratische Volatilität ist somit
$\begin{eqnarray*} \sigma_\text{idio,McD}&=&\sqrt{\sigma^2_\text{McD} - \sigma^2_\text{sys,McD}} = 0.145,\\ \sigma_\text{idio,KH}&=&\sqrt{\sigma^2_\text{KH} - \sigma^2_\text{sys,KH}} = 0.221. \end{eqnarray*}$
Die systematische Volatilität von McDonalds ist höher als die systematische Volatilität von Kraft Heinz. Das ist für den erwarteten Return der Aktien maßgeblich (siehe CAPM). Die Gesamtvolatilität ist allerdings höher beim Eigenkapital von Kraft Heinz.

CAPM und Eigenkapitalkosten

Beispiel: Eigenkapitalkosten von McDonalds und Kraft Heinz

Die Risikokennzahlen von McDonalds und Kraft Heinz sind wie oben angegeben. Die risikolose Rendite ist $5.3\%$ p.a. und die erwartete Marktrisikoprämie ist $6\%$ p.a.

Wie hoch sind die geschätzten Eigenkapitalkosten von McDonalds und Kraft Heinz?

Zur Schätzung der Eigenkapitalkosten wenden wir das CAPM als Gleichgewichtsmodell an
$\mu_i =E[R_i] = R_f + \beta_i(E[R_m]-R_f)$.
Das ergibt für McDonalds und Kraft Heinz
$\begin{eqnarray*} \mu_\text{McD} &=& 0.053 + 0.791 \times 0.06 = 0.100,\\ \mu_\text{KH} &=& 0.053 + 0.526 \times 0.06 = 0.085. \end{eqnarray*}$
Obwohl die Gesamtvolatilität des Eigenkapitals von Kraft Heinz höher ist als die von McDonalds sind die Kapitalkosten von Kraft Heinz mit $8.5\%$ deutlich geringer als die Kapitalkosten von McDonalds ($10\%$).

Beispiele zu den Kapiteln 10, 11 und 12 aus Berk DeMarzo