Angabe

Gegeben sind die lezten sieben jähliche Return-Indizes der Firmen Apple und Pfizer

1. Berechnen Sie jeweils für die letzten sechs Jahre die total Returns, die mittleren Returns sowie die Varianz und die Volatilität

2. Zudem soll Schätzer für den erwarteten Return angegeben werden und auch der Standardfehler für diesen erwarteten Return ermittelt werden

Lösung

Berechnung des realisierten Returns

Der realisierte Return lässt sich aus dem Returnindex berechnen, indem man die prozentuale Veränderung des Indexwerts über einen bestimmten Zeitraum betrachtet. Der Returnindex enthält bereits die Effekte von Kursgewinnen sowie Dividenden- oder Zinszahlungen, die in den Index reinvestiert werden. Die Berechnung erfolgt üblicherweise so:

Daher berechnen wir uns den realisierten Return für jedes Firma und für jedes Jahr wie folgt:

Berechnung des Durchschnittsreturns

Die durchschnittlichen Returns der beiden Unternehmen ergeben sich als durchschnitt der jährlichen Returns

Somit ergibt sich für Unternehmen 1:

und für Unternehmen 2:

Berechnung der realisierten Return-Varianz

Die Return-Varianz einer Stichprobe ist ein Maß für die Streuung oder Variation der Werte in einer Stichprobe. Sie quantifiziert, wie stark die einzelnen Werte um den Mittelwert der Stichprobe streuen. Die Varianz wird berechnet, indem die durchschnittlichen quadrierten Abweichungen der Werte vom Mittelwert betrachtet werden.

Somit ergibt sich für Unternehmen 1:

und für Unternehmen 2:

Berechnung der realisierten Volatilität

Volatilität ist ein Maß für die Schwankungsbreite der Preise eines Vermögenswerts oder eines Marktes über einen bestimmten Zeitraum. Sie gibt an, wie stark der Preis eines Vermögenswerts in der Vergangenheit geschwankt hat, und wird oft als Indikator für das Risiko angesehen. Sie wird als Standardabweichung der Renditen eines Vermögenswerts oder Index über einen bestimmten Zeitraum berechnet.

Somit ergibt sich für Unternehmen 1:

und für Unternehmen 2:

Schätzer für den erwarteten Return

Unter der Annahme, dass die Returns unabhängig sind und aus immer der gleichen Verteilung gezogen, ist der Schätzer des Erwartungswerts gleich dem Mittelwert.

Somit ergibt sich für Unternehmen 1:

und für Unternehmen 2:

Standardfehler des erwarteten Returns

Der geschätzte Wert \(\hat{\mu}\) ist also um den wahren Wert \(\mu\) mit einem Standardfehler \(s\) gestreut. Dieser ergibt sich wie folgt:

Somit ergibt sich für Unternehmen 1:

und für Unternehmen 2: