Angabe
Gegeben sind die wöchentlichen Return-Indizes von zwei Aktien (Eli Lilly und AMD), einer Benchmark (S&P 500) und einer risikofreien Anlage für das Jahr 2023
1. Berechnen Sie die Kovarianz zwischen den Renditen der Aktien Eli Lilly und AMD .
2. Berechnen Sie das Beta der Aktie Eli Lilly
Hinweis:
Sie können die folgende Tabelle kopieren und direkt in Excel einfügen, um die Berechnungen durchzuführen
Lösung
Berechnung der Kovarianz zwischen Eli Lilly und AMD
Die Kovarianz zeigt die gemeinsame Variation der Renditen von Eli Lilly und AMD. Eine positive Kovarianz deutet darauf hin, dass die beiden Aktien tendenziell gleichzeitig steigen und fallen, während eine negative Kovarianz auf eine entgegengesetzte Bewegung hinweist.
Für die Berechnung der Kovarianz verwenden wir die absoluten Renditen, da wir nur die gemeinsame Variation der beiden Aktien betrachten und die risikofreie Rendite hier keine Rolle spielt. Die Formel lautet:
Die Formel lautet: $$\text{Kovarianz} = \frac{1}{T-1} \sum_{i=1}^T (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$$
Um die Kovarianz zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:
- Berechnen Sie den Mittelwert der Renditen für Eli Lilly und AMD.
- Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem einzelnen Renditewert der beiden Aktien, um die Abweichungen zu erhalten.
- Multiplizieren Sie die Abweichungen paarweise für jede Woche.
- Summieren Sie alle Produkte der paarweisen Abweichungen.
- Teilen Sie das Ergebnis durch die Anzahl der Beobachtungen minus eins \((T - 1)\).
Mittelwerte der Renditen
Mittelwert der Rendite von Eli Lilly:
Mittelwert der Rendite von AMD:
Abweichende Renditen der Aktien
Ergebnis der berechneten Summe der paarweisen Produkte:
Ergebnis der berechneten Kovarianz zwischen Eli Lilly und AMD:
Berechnung des Beta-Werts für Eli Lilly
Der Beta-Wert misst die Sensitivität der Rendite von Eli Lilly im Vergleich zur Benchmark. Ein Beta-Wert von 1 bedeutet, dass die Aktie dem systematischen Marktrisiko in gleichem Maß wie die Benchmark ausgesetzt ist
Für die Berechnung des Beta-Werts ziehen wir zunächst die risikofreie Rendite Rf von der Rendite der Aktie und der Benchmark ab, um die Überschussrendite zu erhalten. Die Formel zur Berechnung des Beta-Werts lautet:
Die Überschussrendite ist der Teil der Rendite, der über die risikofreie Rendite hinausgeht. Sie wird berechnet, indem man die risikofreie Rendite \(R_f\) von der jeweiligen Rendite der Aktie bzw. der Benchmark abzieht.
Die Berechnung der Überschussrendite erfolgt nach der Formel: $$\text{Überschussrendite} = \text{Rendite} - R_f$$
Um die Berechnungen für den Beta-Wert nachvollziehbar zu machen, gehen wir wie folgt vor:
1. Die Kovarianz zwischen der Überschussrendite von Eli Lilly und der Benchmark wird berechnet, indem wir die Formel für die Kovarianz verwenden (siehe erster Unterpunkt):
$$\text{Kovarianz} (X, Y) = \frac{1}{T-1} \sum_{i=1}^T (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$$
Dabei steht \( X \) für die Überschussrendite von Eli Lilly und \( Y \) für die Überschussrendite der Benchmark.
2. Die Varianz der Überschussrendite der Benchmark wird auf ähnliche Weise berechnet, wie die Kovarianz. Tatsächlich ist die Varianz die Kovarianz einer Variablen mit sich selbst. Das bedeutet, dass wir dieselbe Formel verwenden, indem wir \( X \) und \( Y \) identisch setzen, also für die Benchmark:
$$\text{Varianz} (Y) = \text{Kovarianz} (Y, Y) = \frac{1}{T-1} \sum_{i=1}^T (Y_i - \bar{Y})^2$$
Durch diese Berechnungen erhalten wir die Kovarianz und Varianz, die in die Formel für den Beta-Wert eingesetzt werden.
Die Formel zur Berechnung des Beta-Werts lautet: $$\beta = \frac{\text{Kovarianz} (\text{Überschussrendite von Eli Lilly}, \text{Überschussrendite der Benchmark})}{\text{Varianz} (\text{Überschussrendite der Benchmark})}$$
Ergebnis der berechneten Kovarianz und Varianz:
Ergebnis des berechneten Beta-Werts für Eli Lilly: