Beispiel 3, interaktive Lösung
Die Lagrange-Multiplikatoren \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) sowie die Produktionsmengen \(x_1\) und \(x_2\) so zu wählen, dass alle Kuhn-Tucker Bedingungen (1) bis (15) erfüllt sind, ist ohne strukturierte Vorgangsweise nicht leicht.
In der hier möglichen interaktiven Darstellung ist folgende Vereinfachung angenommen:
- Annahme: Beide Produktionsmengen \(x_1\) und \(x_2\) sind im Optimum positiv. Daher müssen die Ungleichungen (10) bzw. (13) bindend sein, d.h., sie müssen Gleichungen sein:
- Siehe nebenstehende interaktive Berechnung. Für jede beliebige Einstellung der Lagrange-Multiplikatoren werden die Produktionsmengen durch die Maximierung der Lagrange-Funktion bestimmt, alle anderen Kuhn-Tucker Bedingungen werden ebenfalls ausgewertet.
- Verletzungen der Kuhn-Tucker Bedingungen werden durch Werte in Rot verdeutlicht.
- In der Ausgangseinstellung sind alle Lagrange-Multiplikatoren gleich 0. D.h., die Lagrange-Funktion ist gleich der ursprünglichen Gewinn-Funktion und die vorgeschlagene Lösung für die Produktionsmengen entspricht der Lösung des unbeschränkten Problems.
Wir sehen aber auch, dass in diesem Fall die Nebenbedingungen 1 und 2 verletzt sind. Mithilfe der Lagrange-Multiplikatoren \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) kann die Ausschöpfung der beiden Nebenbedingungen verringert werden.
- Es ist aber nicht einfach, durch "Probieren" eine (die) optimale Lösung zu finden!
\(\begin{array}{lcrcl} \Frac{\partial L}{\partial x_1}(\lambda^*,x^*)&=&90-3x_1^*-\lambda_1^*-\lambda_2^*&=&0,\\ \Frac{\partial L}{\partial x_2}(\lambda^*,x^*)&=&40-4x_2^*-\lambda_1^*-\lambda_3^*&=&0. \end{array}\)
Ansonsten sind die Complementary-Slackness Bedingungen (12) bzw. (15) verletzt.Dieser Annahme folgend können nun für jede Wahl der Lagrange-Multiplikatoren die Produktionsmengen direkt aus der Maximierung der Lagrange-Funktion errechnet werden.
Daher ist es sinnvoll, eine strukturierte Lösung des Problems zu versuchen. Hier geht's zurück zur schrittweisen Lösung des Produktionsproblems.