Beispiel 3
Bearbeitung des Punktes b) aus gegebenem Produktionsproblem:
- Interpretiere das Ergebnis. Was kann man aus der Größenordnung der Lagrange-Multiplikatoren ablesen?
- In Punkt a) wurde als optimale Produktionsentscheidung folgende Lösung ermittelt
\(\begin{array}{rclrcl} x_1&=&26,&x_2&=&7. \end{array}\)
Es ist also optimal, in der ersten Periode 26 Einheiten zu produzieren und in der zweiten Periode 7 Einheiten. - Die zu den drei Nebenbedingungen gehörenden Lagrange Multiplikatoren sind
- Gesamtbeschränkung auf 33 produzierte Einheiten: \(\lambda_1=12\)
- Kapazitätsbeschränkung in der ersten Periode: \(\lambda_2=0\)
- Kapazitätsbeschränkung in der zweiten Periode: \(\lambda_3=0\)
- Die Lagrange Multiplikatoren heißen auch Schattenpreise der Nebenbedingungen. Sie geben Auskunft über die (ökonomische) Konsequenz der Beschränkung, die sie vermitteln.
- Die Dimension des Schattenpreises ist wichtig, um ihn richtig zu interpretieren.
- Der Schattenpreis hat die Dimension [Dimension der Zielfunktion / Dimension der Beschränkung].
- Im gegebenen Produktionsproblem ist die Dimension der Zielfunktion (=Unternehmensgewinn) gleich [EUR] und die Dimension der Beschränkungen ist [produzierte Einheiten]. Daher ist die Dimension der Lagrange Multiplikatoren gleich [EUR / produzierter Einheit]. Das ist notwendig, damit die Lagrange Funktion von den Dimensionen her richtig definiert ist
\(\begin{array}{rcl} L(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,x_1,x_2)&=&G(x_1,x_2)\\ &&+\lambda_1 g^1(x_1,x_2)\\ &&+\lambda_2 g^2(x_1,x_2)\\ &&+\lambda_3 g^3(x_1,x_2)\\ &=&90x_1-1.5x_1^2+ 40x_2-2x_2^2\\ &&+\lambda_1 (33-x_1-x_2)\\ &&+\lambda_2 (28-x_1)\\ &&+\lambda_3 (28-x_2). \end{array}\)
- Wie in den Lehrveranstaltungsunterlagen beschrieben, haben die Nebenbedingungen die Form
\(h^j(x_1,x_2)\leq p_j\),
bzw. entsprechend umgeformt\(g^j(x_1,x_2)= p_j-h^j(x_1,x_2)\geq 0\).
- Wir wissen, dass die Sensitivität des optimalen Zielfunktionswertes (also im Punkt \(x^*\)) gegenüber der Beschränkung \(p\) durch den Lagrange Multiplikator der Nebenbedingung vermittelt wird
\(\Frac{dG(x_1^*,x_2^*)}{dp_j} = \Frac{\partial L(\lambda^*,x*)}{\partial p_j} = \lambda_j\).
D.h., wenn die Beschränkung \(p_j\) der Nebenbedingung \(j\) marginal gelockert wird, also dann \(p_j+dp\) lautet, dann verschiebt sich die optimale Lösung so, dass der optimale Zielfunktionswert sich um \(\lambda_j*dp\) ändert. - Nun konkret zum Beispiel:
- Die Nebenbedingung 1 ist bindend, d.h., \(33-x_1-x_2 = 33-26-7=0\), der zugehörige Lagrange Multiplikator ist \(\lambda_1=12\).
- D.h., wenn man die Produktionsbeschränkung geringfügig lockert und mehr Produktion zulässt, \(33 + dp, dp>0\), dann ändert sich dadurch die optimale Produktionsentscheidung und als Konsequenz auch der optimale Gesamtgewinn. Die Änderung ist positiv und beträgt \(\lambda_1*dp = 12dp\).
- Achtung: Das gilt nur für marginal kleine Änderungen (definiert den Grenzgewinn, also die Tangente an die optimale Zielfunktion).
- Der Schattenpreis von \(\lambda_1=12\) gibt also an, wieviel das Unternehmen pro zusätzlicher Einheit für eine geringfügige Lockerung der Produktionsbeschränkung maximal zu zahlen bereit wäre.
- Die beiden anderen Nebenbedingungen sind nicht bindend, d.h., es gibt überschüssige Kapazität sowohl in der ersten als auch in der zweiten Periode.
- Daher ist es auch ökonomisch sinnvoll, dass die zugehörigen Schattenpreise gleich 0 sind, \(\lambda_2=0, \lambda_3=0\). Denn wenn man die Maximalkapazität in den einzelnen Perioden geringfügig ändert, hätte das keine Auswirkung auf die optimale Produktionsentscheidung.
- Sollte das Unternehmen bereit sein, in die Ausweitung der Produktionskapazität zu investieren? Nein, denn die Nebenbedingungen sind nicht bindend und der Schattenpreis gibt die ökonomische Bewertung der Ressource "Produktionskapazität" korrekt mit 0 an.