Nebenbedingung 1 und 2 bindend
- Wir ermitteln nun die Lösung unter der Annahme, dass Nebenbedingung 1 und 2 binden, \(g^1=0\), \(g^2=0\). D.h., die Complementary-Slackness Bedingungen zu diesen beiden Nebenbedingungen sind jedenfalls erfüllt, auch wenn die zugehörigen Schattenpreise ungleich 0 sind, \(\lambda_1\geq 0\), \(\lambda_2\geq 0\).
- Nebenbedingung 3 ist weiterhin nicht bindend, d.h., \(\lambda_3=0\) und die zugehörige Nebenbedingung (7) bleibt eine \(\geq 0\) Ungleichung.
- Die getroffenen Annahmen führen wieder dazu, dass jede Dreier-(Un-) Gleichungsgruppe des Kuhn-Tucker Systems eine Gleichung und eine Ungleichung entsendet. Das System der Gleichungen liefert eine Lösung, die aber auch das System der Ungleichungen erfüllen muss. Nur dann ist der ermittelte Punkt auch ein Kandidat für eine Gesamtlösung.
- Die Lösung des Gleichungssystems (1'), (4'), (8'), (10'), (13') ist
- Diese Lösung lässt sich auch durch Wahl von \(\lambda_1=20\), \(\lambda_2=-14\), \(\lambda_3=0\) auf der interaktiven Lösungsseite ermitteln: Interaktive Lösung.
- Achtung: Die Lösung des Gleichungssystems (1'), (4'), (8'), (10'), (13') ist aber nicht kompatibel mit den Ungleichungen (2), (5), (7), (11), (14)! Der Lagrange-Multiplikator der Nebenbedingung 2 ist negativ, \(\lambda_2=-14\), und verletzt damit Bedingung (5).
- Der negative Lagrange Multiplikator zeigt an, dass es eigentlich den Anreiz gibt, in der ersten Periode weniger als 28 Einheiten zu produzieren.
- Daher ist die Lösung, die wir unter der Annahme erhalten, dass die Nebenbedingungen 1 und 2 bindend sind, KEINE Lösung des Gesamtproblems und wir müssen weitersuchen, um die richtige Auswahl an bindenden Nebenbedingungen zu finden.
- Hier geht's zurück zur schrittweisen Lösung des Produktionsproblems, wo weitere Schritte zur Lösung des Problems diskutiert werden.
Die Annahmen bezüglich \(x_1\) und \(x_2\) bleiben so wie im Fall der unbeschränkten Lösung. \(x_1\geq 0\), \(x_2\geq 0\) und (10) und (13) sind daher Gleichungen \(= 0 \).
Die Kuhn-Tucker Bedingungen lauten unter diesen Annahmen
\(\begin{array}{rclcrcll} (1')&&\Frac{\partial L}{\partial \lambda_1}(\lambda^*,x^*)&=&33-x_1^*-x_2^*&=&0,&\mbox{(NB)}\\ (2)&&&&\lambda_1^*&\geq&0,&\mbox{(Schattenpreis)}\\[1em] (4')&&\Frac{\partial L}{\partial \lambda_2}(\lambda^*,x^*)&=&28-x_1^*&=&0,&\mbox{(NB)}\\ (5)&&&&\lambda_2^*&\geq&0,&\mbox{(Schattenpreis)}\\ (7)&&\Frac{\partial L}{\partial \lambda_3}(\lambda^*,x^*)&=&28-x_2^*&\geq&0,&\mbox{(NB)}\\ (8')&&&&\lambda_3^*&=&0,&\mbox{(Schattenpreis)}\\[1em] (10')&&\Frac{\partial L}{\partial x_1}(\lambda^*,x^*)&=&90-3x_1^*-\lambda_1^*-\lambda_2^*&=&0,&\mbox{(rel. DB)}\\ (11)&&&&x_1^*&\geq&0,&\mbox{(Variable)}\\[1em] (13')&&\Frac{\partial L}{\partial x_2}(\lambda^*,x^*)&=&40-4x_2^*-\lambda_1^*-\lambda_3^*&=&0,&\mbox{(rel. DB)}\\ (14)&&&&x_2^*&\geq&0,&\mbox{(Variable)}\\ \end{array}\)
\(\begin{array}{rclrclrcl} \lambda_1&=&20,&\lambda_2&=&-14,&\lambda_3&=&0,\\ x_1&=&28,&x_2&=&5. \end{array}\)