Die unbeschränkte Lösung
- Der erste Versuch ist immer die Lösung des unbeschränkten Problems. D.h., bei diesem ersten Lösungsansatz sind alle Lagrange-Multiplikatoren (Schattenpreise) gleich 0, \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=0\). Mit dieser Festlegung sind die Complementary Slackness-Bedingungen (3), (6) jedenfalls erfüllt. Die Nebenbedingungen (1), (4) sind daher nicht notwendigerweise bindend und sind daher drei Ungleichungen, die von einer Lösung des Gleichungssystems erfüllt werden müssen.
Außerdem nehmen wir in diesem ersten Lösungsversuch an, dass die Produktionsmengen einer internen Lösung entspringen, d.h., dass die relativen Deckungsbeiträge (7) und (10) gleich 0 sind. Als Ungleichungen, die von der Lösung erfüllt werden müssen, bleiben (8) und (11), also \(x_1\geq 0\), \(x_2\geq 0\). - Die getroffenen Annahmen machen nun das ursprüngliche System von Ungleichungen zu einem lösbaren Gleichungssystem. Die Gleichungen (2'), (5'), (7') und (10') sind vier Gleichungen, welche die vier Variablen des Problems eindeutig festlegen.
- Die ermittelte Lösung des Gleichungssystems muss auch die vier Ungleichungen (1), (4), (8) und (11) erfüllen, nur dann ist sie ein echter Kandidat für ein Maximum.
- Die Lösung dieses Gleichungssystems ist
- Diese Lösung verletzt keine der Nebenbedingungen, wie auch aus der Graphik zu sehen ist. Bitte beachten: Da alle \(\lambda\) gleich 0 sind ist die Lagrange-Funktion gleich der Gewinn-Funktion.
- Hier geht's zurück zu Punkt c.
Die Kuhn-Tucker Bedingungen lauten unter diesen Annahmen
\(\begin{array}{rclcrcll} (1)&&\Frac{\partial L}{\partial \lambda_2}(\lambda^*,x^*)&=&28-x_1^*&\geq&0,&\mbox{(NB)}\\ (2')&&&&\lambda_2^*&=&0,&\mbox{(Schattenpreis)}\\[1em] (4)&&\Frac{\partial L}{\partial \lambda_3}(\lambda^*,x^*)&=&28-x_2^*&\geq&0,&\mbox{(NB)}\\ (5')&&&&\lambda_3^*&=&0,&\mbox{(Schattenpreis)}\\[1em] (7')&&\Frac{\partial L}{\partial x_1}(\lambda^*,x^*)&=&78-3x_1^*-\lambda_1^*-\lambda_2^*&=&0,&\mbox{(rel. DB)}\\ (8)&&&&x_1^*&\geq&0,&\mbox{(Variable)}\\[1em] (10')&&\Frac{\partial L}{\partial x_2}(\lambda^*,x^*)&=&28-4x_2^*-\lambda_1^*-\lambda_3^*&=&0,&\mbox{(rel. DB)}\\ (11)&&&&x_2^*&\geq&0,&\mbox{(Variable)}\\ \end{array}\)
\(\begin{array}{rclrclrcl} \lambda_1&=&0,&\lambda_2&=&0\\ x_1&=&26,&x_2&=&7. \end{array}\)
