Beispiel 3
Betrachte ein Unternehmen, das ein nicht lagerfähiges Gut in zwei aufeinanderfolgenden Zeitperioden erzeugt. Die variablen Produktionskosten sind konstant EUR 10,- pro produzierter Einheit. Mit \(x_1\) und \(x_2\) bezeichnen wir die Produktionsmenge in den Perioden 1 und 2. Die inverse Nachfrage in den beiden Perioden ist gegeben durch
\(\begin{array}{rcl} p_1 &=& 100-1.5x_1,\\ p_2 &=& 50-2x_2. \end{array}\)
Während der Produktion sind Emissionen unvermeidbar. Gesetzliche Beschränkungen erlauben maximal 33 Einheiten zu erzeugen (Summe von \(x_1\) und \(x_2\)). Kapazitätsbeschränkungen bewirken, dass in jeder Periode maximal 28 Einheiten produziert werden können. Der Zeitwert des Geldes ist gleich 0. Betrachte das folgende Beispiel aus der Lehrveranstaltung.- Bestimme die optimale Produktionsentscheidung \(x_1\) und \(x_2\), welche den Gesamtgewinn des Unternehmens maximiert.
- Interpretiere das Ergebnis. Was kann man aus der Größenordnung der Lagrange-Multiplikatoren ablesen?
- Angenommen, die Emissionsbeschränkung wird aufgehoben. Stattdessen wird eine Emissionssteuer von EUR 12 pro produzierter Einheit eingehoben. Was ist nun die optimale Produktionsentscheidung?
Punkt a)
- Zuerst ermitteln wir die zu maximierende Zielfunktion, die Gewinnfunktion, aus der Angabe.
- Dann werden die Optimalitätsbedingungen 1. Ordnung, die Kuhn-Tucker Bedingungen, aufgestellt. Die Lösung dieses Systems aus (Un-) Gleichungen ist nicht in einem Schritt möglich, da nicht von vornherein klar ist, welche der Nebenbedingungen im Optimum bindend sind bzw. ob die optimalen Produktionsmengen an der Nicht-Negativitätsbeschränkung anstoßen oder nicht.
- Kandidaten für eine Gesamtlösung, welche die Optimalitätsbedingungen 1. Ordnung erfüllen, werden mit Hilfe der entsprechenden Bedingungen 2. Ordnung getestet, ob sie (lokale) Maxima sind.
- Eine ausführliche Behandlung des Problems mit Hilfe des Kuhn-Tucker Formalismus finden Sie hier: Schrittweise Ermittlung der optimalen Produktionsentscheidung, Punkt a).
- Als gewinnoptimale Lösung wird die Produktionsentscheidung \(x_1^*=26\) und \(x_2^*=7\) bestimmt. Der maximal mögliche Gesamtgewinn ist \(G(x_1^*,x_2^*)\). Nur die Nebenbedingung, welche die Gesamtproduktion auf maximal 33 Einheiten beschränkt, ist im Optimum bindend, der zugehörige Lagrange-Multiplikator ist \(\lambda_1=12\). Die Lagrange-Multiplikatoren der beiden anderen Nebenbedingungen (Kapazitätsbeschränkungen) sind folglich gleich 0.
Punkt b)
- Die Lagrange-Multiplikatoren zu Nebenbedingungen können als Schattenpreise interpretiert werden. Ein Schattenpreis von 12 für die erste Nebenbedingung (Gesamtproduktion maximal 33 Einheiten) bedeutet, dass eine marginale Änderung der Restriktion auf \(33 + dp\) Einheiten, den optimalen Zielfunktionswert um \(12 dp \) ändern würde.
- Eine ausführliche Diskussion des Punktes b) finden Sie hier: Was kann man aus der Größe der Lagrange-Multiplikatoren ablesen? Punkt b).
Punkt c)
- Diese Frage soll die Interpretation des Lagrange Multiplikators als Schattenpreis weiter vertiefen.
- Im Optimum ist nur die erste Nebenbedingung bindend, der zugehörige Lagrange Multiplikator ist gleich 12 EUR/Einheit.
- Ersetzt man die Nebenbedingung 1 durch einen Preis, sodass genau 12 EUR pro erzeugter Einheit als Kosten anfallen, dann führt das zu exakt derselben optimalen Produktionsentscheidung wie mit vorhandener Nebenbedingung!
- Die Produktionsentscheidung lässt sich also durch zwei äquivalente Mechanismen induzieren:
- Die Beschränkung der Gesamtproduktion auf die gewünschte Menge
- Die Bepreisung der Produktion mit dem zugehörigen Schattenpreis
- Eine ausführliche Diskussion des Punktes c) finden Sie hier: Emissionssteuer ersetzt die Beschränkung. Punkt c).